Déformation élastique

Si l’on considère un parallélépipède rectangle, le cisaillement est une variation de l’angle, qui n’est plus droit. Cela correspond à des forces s’exerçant parallèlement à la face.

On définit de même la contrainte comme étant la force divisée par la surface sur laquelle elle s’exerce ; cette contrainte est appelée cission (toujours exprimée en MPa) et est notée τ.

La déformation est l’écart à l’angle droit γ, appelé cisaillement, exprimé en radian.

Parallelepipede cisaillement.png

On a toujours une loi linéaire :

τ = G · γ

où G est le module de cisaillement ou module de Coulomb, généralement exprimé en GPa. Dans le cas d’un milieu isotrope, le module de cisaillement est lié au module d’Young et au coefficient de Poisson par la relation suivante :

G = \frac{E}{2 \; (1 + \nu)}

Note : dans l’article Tenseur des déformations, l’angle γ défini vaut la moitié de l’angle γ défini ici.


Compression isostatique[modifier | modifier le code]

Une compression isostatique est l’exercice d’une pression isotrope, c’est-à-dire qui a la même valeur dans toutes les directions. Si l’on désigne par V le volume de l’objet, la variation de volume relative est proportionnelle à la variation de la pression P :

Isostatic pressure deformation.png

\Delta P = -K \cdot \frac{\Delta V}{V_0}

où K est le module d’élasticité à la compression isostatique1 (bulk modulus en anglais). On remarque que K est l’inverse du coefficient de compressibilité isotherme χT défini en thermodynamique par :

\frac{1}{K} = \chi_T = -\frac{1}{V} \cdot \left ( \frac{\partial V}{\partial P} \right )_T

K est aussi homogène à une pression et est généralement exprimé en gigapascal (GPa). On a :

matériau K
acier 160 GPa
eau 2,2 GPa
air 0,000 1 GPa2

Dans le cas d’un milieu isotrope, le module d’élasticité isostatique K, le module de Young E et le module de cisaillement G sont liés par la relation suivante :

\frac{1}{E} = \frac{1}{9\;K} + \frac{1}{3\;G}

Cas des grandes déformations[modifier | modifier le code]

La définition que l’on a prise de ε dépend du trajet suivi. Considérons une déformation finale de ε1 + ε2. Si l’on fait la déformation en une étape, la longueur finale est

l = l0(1 + ε1 + ε2)

Si par contre on déforme d’abord de ε1, on a une première longueur

l = l0(1 + ε1)

qui devient la longueur initiale pour l’étape suivante, donc lorsque l’on rajoute une déformation ε2, on obtient

l = l0(1 + ε1)(1 + ε2)

En développant cette dernière formule, on voit que les deux sont équivalentes si

ε1 · ε2 ≪ ε1 et ε1 · ε2 ≪ ε2

soit, de manière synthétique, si

ε² ≪ ε, soit ε ≪ 1 ;

c’est l’hypothèse des petites déformations.

Pour les grandes déformations, on peut utiliser une autre définition de ε :

\varepsilon = \ln \left ( \frac{l}{l_0} \right )

on voit que si l et l0 sont proches, le développement limité de cette formule redonne la définition de ε des petites déformations

Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?[modifier | modifier le code]

De manière générale, toute loi peut localement (c’est-à-dire pour de petites variations) se remplacer par un développement limité du premier ordre, ou « approximation linéaire », à condition que la tangente de la loi ne soit pas horizontale autour du point considéré. Les lois élastiques sont donc des approximations linéaires du comportement réel, plus complexe.

Plus précisément, l’explication de la linéarité se trouve dans la forme du potentiel interatomique W(r), où r est la distance entre deux atomes.

À une température de 0 K, la distance entre deux atomes est r0. Si l’on s’éloigne un peu de cette valeur, l’énergie W augmente ; on peut localement approcher la loi de W par une parabole (il s’agit en fait d’undéveloppement limité au second ordre), on peut donc écrire :

W(r) = W0 + k · (r – r0)2.

Potentiel deformation elastique.png

La force étant la dérivée de l’énergie potentielle, on voit que les atomes sont soumis à une force de rappel (qui tend à faire revenir à r0) qui vaut :

F = 2k · (r – r0)

qui est bien une loi linéaire.

Déformations complexes[modifier | modifier le code]

Nous avons vu jusqu’ici des exemples de déformation très simples : traction uniaxiale, cisaillement, compression isostatique, sur un parallélépipède rectangle. Les applications réelles correspondent à des pièces et des sollicitations plus complexes, nécessitant de décrire la déformation et les contraintes par des matrices, des tenseurs, voir les articles :

Cas des gaz[modifier | modifier le code]

Un gaz est constitué de molécules qui volent et s’entrechoquent. Elles se cognent également aux parois du récipient contenant le gaz, ce qui crée la pression. L’énergie cinétique moyenne d’une molécule est proportionnelle à la température absolue (en kelvins) :

E_c = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T

k étant la constante de Boltzmann.

La pression du gaz sur les parois dépend donc du nombre de chocs par seconde et de la force de chaque choc, cette force dépendant de l’énergie cinétique. Si l’on diminue le volume de l’enveloppe en maintenant la température constante (compression isotherme), on augmente la fréquence des chocs donc la pression. À l’inverse, si l’on agrandit l’enveloppe, on diminue la fréquence des chocs, et donc on diminue la pression. Ceci se retrouve dans les lois de comportement des gaz, par exemple dans la loi des gaz parfaits, la pression est inversement proportionnelle au volume :

 P  \propto  \frac{1}{V}

(la constante de proportionnalité vaut  nRT  où  n  est la quantité de gaz et R est la constante des gaz parfaits). Si l’on prend un cylindre de section S constante et de longueur  l  variable par l’action d’un piston, on a

F = P \cdot S = \frac{A}{l}

soit pour de petites variations (développement limité de la fonction  \frac{1}{l}  autour de l_0 ) :

\Delta F \simeq - \frac{A}{l_0^2} \cdot (l-l_0)

qui est une loi linéaire (ou plutôt affine) en l.

On a bien un comportement élastique pour les gaz isothermes soumis à de faibles variations de volume.

Voir les articles Théorie cinétique des gaz et Pression cinétique.

Exemple des ressorts[modifier | modifier le code]

Le cas le plus simple de déformation élastique est celui des ressorts.

Ressorts elasticite.png
Trois exemples de ressorts : ressort à spires non-jointives sollicité selon son axe (fig. de gauche), ressort à lame sollicité en flexion (au centre), ressort à lame sollicité en torsion (à droite)

Sur les dessins, nous n’avons pas représenté la réaction du support auquel est accroché le ressort. Mais il faut bien voir que la déformation résulte de l’application de deux actions mécaniques opposées (forces et/ou couples) ; s’il n’y a qu’une seule force, en application du principe fondamental de la dynamique, la force accélère le ressort sans provoquer de déformation, on se ramène à la mécanique du point.

Lorsque les lois de déformation sont linéaires, le coefficient de proportionnalité est appelé raideur du ressort et est noté k :

  • F = k1 · Δl pour une traction-compression ;
  • F = k2 · θ pour une flexion ;
  • C = k3 · θ pour une torsion.

On remarque que les coefficients k1k2 et k3 ne sont pas homogènes (ils n’ont pas la même dimension). L’angle θ doit être exprimé en radians.

Dans le cas d’un ressort à spires non-jointives, l’énergie de déformation élastique W est le travail de la force :

W = \int_0^{\Delta l} F \cdot dl

C’est donc la surface du triangle délimité par la droite dans le graphique (Δl,F), soit

W = 1/2 k1 Δl 2 = 1/2 · F · Δl

Ressort energie elastique.png
Illustration graphique de l’énergie de déformation élastique dans le cas d’un ressort à spires non-jointives


Note : sur la première figure, nous avons utilisé un graphique montrant la déformation en fonction de la force, par exemple (Fl). Sur la deuxième figure, nous avons inversé les axes et représenté la force en fonction de la déformation (Δl,F). Si la première représentation nous semble plus intuitive (on se représente la force comme la cause de la déformation), les deux sont équivalentes. C’est de fait la seconde, (Δl,F), qui est la plus utilisée, les essais de traction se faisant à déformation imposée croissante (voir l’explication dans l’article essais mécaniques).


Notes[modifier | modifier le code]

  1.  La notion de module de compressibilité est d’ambiguë puisqu’il s’agit de l’inverse de la dite compressibilité.
  2.  l’équation des gaz parfaits nous donne χT = 1/P, soit K = P = 105 Pa = 10-4 GPa à une atmosphère.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

———-

  • Ce contenu a été réutilisé, copié ou modifié sous CC BY-SA 3.0,
  • Auteurs

Le contenu original de Wikipédia n’a pas été modifié